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Download PDF by Stefan Müller-Stach: Elementare und algebraische Zahlentheorie: Ein moderner

By Stefan Müller-Stach

ISBN-10: 3834812560

ISBN-13: 9783834812568

ISBN-10: 3834882631

ISBN-13: 9783834882639

Das Buch wendet sich an alle, die in die klassischen Themen der Zahlentheorie einsteigen wollen. Neben den Standardthemen wie Primzahlen, Rechnen modulo n, quadratische Reste und Kettenbrüche werden auch die fortgeschrittenen Bereiche wie p-adische Zahlen, quadratische Formen und Zahlkörper am Beispiel der quadratischen Zahlkörper behandelt. Viel Wert wird auf die konkrete Berechenbarkeit bei allen Problemlösungen gelegt. So gibt es auch Abschnitte über moderne Primzahltests und Faktorisierungsalgorithmen und am Ende des Buches wird ein Weg zur Bestimmung der Klassenzahl der quadratischen Zahlkörper aufgezeigt.
Im Rahmen der Bachelor-/Master-Studiengänge eignet sich das Buch als Grundlage für zwei Semester: ein Aufbaumodul in elementarer Zahlentheorie mit einem Vertiefungsmodul in algebraischer Zahlentheorie.

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An vielen Stellen in der Mathematik spielen die Einheiten des Ringes n eine wichtige Rolle. Sie erhalten daher eine Standardbezeichnung, und wir werden sie hier und im u¨ bern¨achsten Abschnitt genauer untersuchen. 9 Die Einheitengruppe von n µ¢ bezeichnet. 10 a·n Un ggT´a nµ 1 Beweis: a ¾ n ist genau dann eine Einheit, falls es ein x ¾ n gibt mit x a 1, also die Gleichung ax 1 mod n l¨osbar ist. 8 gerade dann m¨oglich, wenn ¾ ggT´a nµ 1. 11 Berechnen Sie Un f¨ur 2 n 15. 12 Die Eulersche ϕ –Funktion ist definiert durch ϕ :Æ n Æ #Un Wir wollen eine einfache Formel f¨ur ϕ finden.

Die zweite Aussage ist f¨ur a 0 mod p trivial. Sei also a 0 mod p. 17 von Euler p 1 p 1 ´a 2 µ2 a p 1 1 mod p gilt. Damit ist a 2 eine L¨osung der Gleichung x2 1 mod p, also 1 oder 1 modulo p. Da auch ap nur die Werte 1 und 1 annimmt, reicht es zu untersuchen, wann beide 1 sind. p 1 Sei a ζ l f¨ur eine Primitivwurzel ζ modulo p und l ¾ Æ . Dann ist a 2 Wegen ord ζ p 1 ist dieser Ausdruck genau dann gleich 1, falls p 1 gerade ist. Nach dem vorangegangenen Lemma ist dies a¨ quivalent dazu, ζ l ´ p 1 µ 2 l ´ p 1µ 2 , dass ap mod p.

27 Beschreiben Sie die Struktur der Einheitengruppe U192 als abelsche Gruppe. Wieviele L¨osungen kann eine Gleichung der Form x2 a mod 192 f¨ur a ¾ U192 h¨ochstens haben ? 8 Quadratische Reste In diesem Abschnitt geht es um die Frage, ob zu vorgegebenen p ¾ È und d ¾ , d die Gleichung x2 d mod p 0 mod p, eine L¨osung hat. Falls ja, dann nennt man d einen quadratischen Rest modulo p, sonst Nichtrest. Dies ist nat¨urlich a¨ quivalent zur Frage, ob die Gleichung x2 d in p eine L¨osung hat. Wir haben bereits im letzten Abschnitt ein Verfahren erarbeitet, um diese Frage zu beantworten und sogar eine L¨osung zu finden.

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Elementare und algebraische Zahlentheorie: Ein moderner Zugang zu klassischen Themen by Stefan Müller-Stach


by George
4.0

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